離婚後に、当事者間の合意により親権者を変更することは許されません。

親権（者）という未成年の子どもにとって極めて重要な事柄については、当事者間で自由に定めることはできないのです。
（※なお、認知した父を親権者に指定したり、離婚後に生まれた子の親権者を父に指定することは、父母の合意に基づき届出をすることによっても可能です。）

親権者を変更する必要が生じた場合、子の親族が家庭裁判所に親権者変更の調停を申し立てる必要があります。

今回のケースでは、母であるご相談者の方が申立人となって、子の親権者変更の調停を申し立てるべきでしょう。

なお、調停を申し立てた後、親権者の変更が認められるか否かは、一般に、現在の子の養育監護の状況を踏まえ、子の福祉にとって親権者を変更する必要があるかという観点から検討されることになりますが、子を含めた当事者が親権の変更に同意している場合には、通常は変更が認められます。